\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\newtheorem{definition}{定义}
\newtheorem{theorem}{定理}

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\author{曹金}
\date{}

\title{<<LDPC Codes for Compressed Sensing>> notes}

\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents

\section{文章的主要内容}

\subsection{主要思想}

本文章主要思想是用LDPC的校验矩阵做为CS的观测矩阵, 记为$H_{CS}$. 即$H_{CS}$的元素是由{0, 1}构成.

\subsection{结论}

如果CC-LPD的二进制校验矩阵够"好", 那么这样的矩阵作为CS-LPD的观测矩阵也是很"好"的. 例如, 对于二进制对称信道(BSC)来说, 如果一个校验矩阵H通过CC-LPD的方法纠正k个bit的错误, 那么该矩阵做为观测矩阵可以恢复k-sparse的信号~\cite{dimakis_ldpc_2012}. 

具体的说~\cite{dimakis_ldpc_2012}, 对于由{0, 1}构成的观测矩阵$H_{CS}$, 一个在$H_{CS}$的零空间中的非零向量v, 可以被映射到由$H_{CS}$定义的fundamental cone中的非零向量. 

\begin{theorem} 
  令$H_{CS}$为0-1构成的观测矩阵, 则有
  \[
  \mathbf{v} \in Nullsp_R(H_{CS}) \Rightarrow | \mathbf{v} | \in \mathcal{K}(H_{CS})
  \]
  其中, $| \mathbf{v} |$表示这样一个向量: 它的所有分量都是向量v的每个分量的绝对值或是模. ~\cite{dimakis_lp_2009}~\cite{dimakis_ldpc_2012} 
\end{theorem}

本文的主要关注的是:
CC-LPD => CS-LPD

而不是
CC-LPD <= CS-LPD
对于较好的cs观测矩阵是不是较好的cc校验矩阵的问题, 有待研究.

\section{文章中涉及到的数学概念和记号}

% idempotent: 幂等的

\subsection{convex set, 凸集}

设集合S是实数域R上的向量空间, 如果对于$\forall x, y \in C, \forall t \in [0, 1] $, 点
\[ (1 - t) x + t y \]
仍在C内, 则C为凸集. 换句话说, 在C内的任意两点所连成直线上的点仍在子集C内.

\subsection{convex hull or convex envelope, 凸包}

在欧式空间点集X的凸包, 是包括X的最小凸集.

凸包算子convex-hull operator: conv(), 具有闭包算子的所有性质:
\begin{enumerate}
\item 扩展性 集合X是的其凸包的子集. $X \subseteq conv(X)$
\item 单调增 若X是Y的子集, 则X的凸包是Y的凸包的子集. $若X \subseteq Y, 则conv(X) \subseteq conv(Y)$
\item 幂等性 conv(conv(X)) = conv(X).
\end{enumerate}

有限点集S的凸包为: 
\[
\left\{\sum_{i=1}^k \alpha_i x_i \Bigg | x_i\in S, \, \alpha_i\in \mathbf{R}^+ \cup \{0\}, \, \sum_{i=1}^k \alpha_i=1 \right\}
\]

\subsection{polytope, 多胞形}

多胞形是一类由平的边界构成的几何对象。多胞形可以存在於任意维中。多边形为二维多胞形，多面体为三维多胞形，也可以延伸到三维以上的空間，如多胞形（英语：polychoron）即为四维多胞形。

当提到n维空间下的多胞形时，常会用n-多胞形的名称来表示，因此多边形可称为2-多胞形，多面体可称为3-多胞形，多胞体即为3-多胞形。


\subsection{代价函数(线性似然代价函数)} 

定义o~\cite{feldman_decoding_2003}一个码位$y_i$对数似然比为:
\[
\gamma_i = \ln \left( \frac{\Pr[\tilde{y_i} | y_i = 0]}{\Pr[\tilde{y_i} | y_i = 1]} \right)
\]
如果$\gamma_i < 0$, 则$y_i$更可能为1; 如果$\gamma_i > 0$, 则$y_i$更可能为0. 通常将$\gamma_i$看作是码比特$y_i$的代价, $\gamma_i$表示为将某个比特位$y_i$置1所引起的代价. 将$\sum_i \gamma_i y_i$做为码字$\mathbf{y}$的代价.


\[
C_{cc} = \{ \mathbf{x} \in F_n^2 | H_{cc} \cdot \mathbf{x} = \mathbf{0} (mod \quad 2)  \}
\]

\begin{definition}[fundamental polytope P]
  \[
  P \doteq P(H_{cc}) = \bigcap_{j \in J(H_{cc}} conv(C_{cc,j}),
  \]
\end{definition}

\begin{definition}[convex cone凸锥]
  设C是向量空间的子集, 如果对于$\forall \alpha, \beta \in R^+, \forall x, y \in C$, 都有$\alpha x + \beta y \in C$, 则C称为凸锥
\end{definition}

\begin{definition}[conical hull]
  集合S的conical hull为:
  \[
  \operatorname{coni} (S)=\Bigl\{\sum_{i=1}^k \alpha_i x_i \;\Big|\; x_i\in S, \, \alpha_i\in \mathbf{R}, \, \alpha_i\geq 0, i, k=1, 2, \dots\Bigr\}
  \]  
\end{definition}

\begin{definition}[fundamental cone K]
  \[
  K \doteq K(H_{cc}) = conic (P(H_{cc})) = \bigcup_{j \in J(H_{cc})} conic(C_{cc, j})
  \]
  
\end{definition}



% \section{关键点记录}

% 将观测矩阵A的条件RIP取而代之, 假设A构成一个k-neighborly poly-tope. 参考




% \begin{figure}
% \centering
% \includegraphics[width=1\textwidth]{/home/xls/Documents/Unix/tex/matrix_theory/linearsystem.png}
% \caption{图}
% \end{figure}


\bibliography{../mybib}{}
\bibliographystyle{plain}

\end{document}
